Record Details

ABOUT ONE SYSTEM OF THE CHEBYSHEV–MARKOV RATIONAL FRACTIONS

Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus

View Archive Info
 
 
Field Value
 
Title ABOUT ONE SYSTEM OF THE CHEBYSHEV–MARKOV RATIONAL FRACTIONS
ОБ ОДНОЙ СИСТЕМЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ ЧЕБЫШЕВА–МАРКОВА
 
Creator Y. Rovba A.; Yanka Kupala State University of Grodno
P. Potsejko G.; Yanka Kupala State University of Grodno
Е. Ровба А.; Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
П. Поцейко Г.; Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
 
Subject Chebyshev–Markov’s rational fractions;orthogonality;Fourier series;Dirichlet integral;evaluation of appro- ximation by partial sums;asymptotic and Laplas method;exact constants
рациональные дроби Чебышева–Маркова;ортогональность;ряды Фурье;интеграл Дирихле;оценка приближения частичными суммами;асимптотика и метод Лапласа;точные константы
 
Description The Chebyshev–Markov rational fractions have a number of remarkable properties and are one of the main and, certainly, important elements in the theory of approximation of functions. The Chebyshev–Markov fractions are the integrant apparatus for creation of interpolation rational functions and quadrature formulas. However in the context of the orthogonal Fourier series they are not used as generally they have no property of orthogonality.The present article considers the system of the Chebyshev–Markov rational fractions with a special choice of the parameters for its definition. In the first part of the present article, the elements of the system are created, some of their representations are specified, and it is proved that there is a weight, at which the studied system is orthogonal on a piece [–1, 1]. In the second part of the work, the Dirichlet integral is created. In the third part of the present article, the coefficients of the Fourier series expansion of the function |x| in the considered system are found in explicit form. In the fourth part, the estimate of the function |x| by means of the partial sums of its Fourier series is investigated. In particular, its accuracy is proved. In the closing part, the asymptotic estimate of the approximation by the partial sums on a piece is obtained as a whole and when the approximation is carried out outside a singular point. Precise constants of these estimates are found.
Рациональные дроби Чебышева–Маркова обладают рядом замечательных свойств и являются одним из основных и, безусловно, важных элементов в теории приближения функций. Дроби Чебышева–Маркова являются неотъемлемым аппаратом для построения интерполяционных рациональных функций и квадратурных формул. Однако в контексте ортогональных рядов Фурье они не использовались, поскольку в общем случае свойством ортогональности они не обладают.В настоящей работе рассматривается система рациональных дробей Чебышева–Маркова при специальном выборе определяющих ее параметров. В первой части настоящего сообщения проводится построение элементов системы, указываются некоторые их представления и доказывается, что существует вес, при котором исследуемая система является ортогональной на отрезке [–1,   1]. Во второй части работы производится построение интеграла Дирихле. В третьей части найдены в явном виде коэффициенты в разложении в ряд Фурье функции |x| по рассматриваемой системе. В четвертой  исследуется оценка приближения функции |x| посредством частичных сумм ее ряда Фурье. Доказана, в частности, ее точность. В заключительной части получена асимптотическая оценка приближения частичными суммами в целом на отрезке и в случае, когда приближение осуществляется вне особой точки. Найдены точные  константы этих оценок.
 
Publisher The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"
 
Contributor —
—
 
Date 2017-03-02
 
Type info:eu-repo/semantics/article
info:eu-repo/semantics/publishedVersion
—
—
 
Format application/pdf
 
Identifier http://doklady.belnauka.by/jour/article/view/385
 
Source Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus; Том 61, № 1 (2017); 24-29
Доклады Национальной академии наук Беларуси; Том 61, № 1 (2017); 24-29
0002-354X
 
Language rus
 
Relation http://doklady.belnauka.by/jour/article/view/385/386
Марков, А. А. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций наименее уклоняющихся от нуля / А. А. Марков. – М.; Л., 1948. – 411 с.
Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М., 1963. – 1100 с.
Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М.; Л., 1949. – 684 с.
Евграфов, М. А. Асимптотические оценки и целые функции / М. А. Евграфов. – М.: Наука, 1979. – 320 с.
Федорюк, М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды / М. В. Федорюк. – М.: Наука, 1987. – 544 с.
Зорич, В. А. Математический анализ / В. А. Зорич. – М.: Наука, 1984. – Ч. II. – 640 с.
Ровба, Е. А. Константы в приближении функции |x| интерполяционными рациональными процессами /Е. А. Ровба, Е. Г. Микулич // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 6. – С. 11–15.
 
Rights Authors who publish with this journal agree to the following terms:Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
Авторы, публикующие в данном журнале, соглашаются со следующим:Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным сохранением ссылок на авторов оригинальной работы и оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договорённости, касающиеся не-эксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге), со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы имеют право размещать их работу в сети Интернет (например в институтском хранилище или персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу (См. The Effect of Open Access).