Record Details

ON THE STRUCTURE OF THE OPERATOR COADJOINT ACTION FOR THE CURRENT ALGEBRA ON THE THREE-DIMENSIONAL TORUS

Civil Aviation High TECHNOLOGIES

View Archive Info
 
 
Field Value
 
Title ON THE STRUCTURE OF THE OPERATOR COADJOINT ACTION FOR THE CURRENT ALGEBRA ON THE THREE-DIMENSIONAL TORUS
О СТРУКТУРЕ ДЕЙСТВИЯ КОПРИСОЕДИНЕННОГО ОПЕРАТОРА НА АЛГЕБРЕ ТОКОВ ТРЕХМЕРНОГО ТОРА
 
Creator M. Alexander Lukatsky; Energy Research Institute of Russian Academy of Sciences
 
Subject current algebra; Lie bracket; operator of the adjoint action; operator of the coadjoint action; three- torus; the Landau-Lifshitz equation; compact operator; Lipschitz condition; алгебра токов; скобка Ли; действие присоединённого оператора; оператор коприсоеди- нённого действия; трёхмерный тор; уравнение Ландау - Лифшица; компактный оператор; условие Липшица
 
Description For the current Lie algebra on the three-dimensional torus with non-standard Lie bracket some properties, in the case when the sum of adjoint and coadjoint operators on infinite-dimensional Lie algebra with scalar product has a finite norm are established. For the Landau-Lifshitz equation in the three-dimensional torus it is established that the operatorm mS = (ad+ ad* ) / 2mhas a finite norm, though it is not true the operators of the adjoint action adm and coadjoint ac-mtion ad ∗ . It follows that the coefficients of expansion of the solution in an orthonormal basis of eigenvectors of the La- place operator satisfy Lipschitz conditions. Thus, for the Landau-Lifshitz equation on the three-dimensional torus situationis similar to the equations of an ideal fluid and Korteweg de Vries. On the other hand, if for the equations of fluid dynamicsand Korteweg de Vries, this fact has been established in a general way, for the Landau-Lifshitz equation in the three- dimensional torus it is obtained specifically through the calculation of structural constants and the matrix of the coadjoint action for the current algebra with non-standard Lie bracket.
Для алгебры Ли потоков на трехмерном торе с нестандартной скобкой Ли установлены некоторые свой- ства, в случае когда сумма присоединённого и коприсоединенного операторов на бесконечномерной алгебре Ли со скалярным произведением, имеет конечную норму. Точнее, для уравнения Ландау - Лифшица на трехмерном торе*установлено, что оператор Sm = (adm + adm ) / 2имеет конечную норму, хотя это не так для присоединённого дей-mствия admи коприсоединённого действия ad∗. Из этого выводится, что коэффициенты разложения решения поортонормированному базису собственных векторов оператора Лапласа удовлетворяют условию Липшица. Таким образом, для уравнения Ландау - Лифшица на трехмерном торе ситуация схожа с таковой для идеальной жидкости и уравнения Кортвега - де Фриза. С другой стороны, если для уравнений гидродинамики и уравнения Кортвега - де Фриза такой факт был установлен в общем виде, то для уравнения Ландау - Лифшица на трехмер- ном торе это выведено специальным способом, через вычисление структурных констант и матрицы коприсоеди- нённого действия на алгебре токов с нестандартной скобкой Ли.
 
Publisher Moscow State Technical University of Civil Aviation (MSTU CA)
 
Date 2017-05-03
 
Type info:eu-repo/semantics/article
info:eu-repo/semantics/publishedVersion
—
 
Format application/pdf
 
Identifier http://avia.mstuca.ru/jour/article/view/1064
 
Source Civil Aviation High TECHNOLOGIES; Том 20, № 2 (2017); 117-125
Научный вестник МГТУ ГА; Том 20, № 2 (2017); 117-125
2542-0119
2079-0619
 
Language rus
 
Relation http://avia.mstuca.ru/jour/article/view/1064/943
Arnold V.I., Khesin B.A. Topological methods in gydrodynamics. Springer, New-York, 1998, 392 p
Khesin B.A., Wendt R. The geometry of infinite-dimensional group. Springer. New-York, 2009, 304 p
Aleksovskii V.A., Lukatskii A.M. Nonlinear dynamics of the magnetization of ferromag- nets and motion of a generalized solid with flow group. Theoret. and Math. Phys., 1990, vol. 85, no. 1, pp. 1090-1096
Lukatsky A.M. Structural and geometric properties infinite Lie groups in the application of the equations of mathematical physics. Yaroslavl, Yaroslavl State University named P.G. Demidov, 2010, 175 p. (in Russian)
Lukatsky A.M. Investigation of the geodesic flow on an infinite-dimensional Lie group by means of the coadjoint action operator. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, December 2009, vol. 267, issue 1, pp. 195-204. (in Russian)
Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the theory of functions and functional analysis. M., Nauka, 1972, 496 p. (in Russian)
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometric Fourier series and elements approximation theory. Leningrad. Publishing House of Leningrad University Press, 1983, 188 p. (in Russian)
Temam R. Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. North Holland Publ. Comp., 1979
Arnold V.I. Mathematical methods in classical mechanics. M., Editorial URSS, 2000, 408 p. (in Russian)
Zulanke R., Witten P. Differential geometry and fiber bundles. M., Mir, 1975. (in Russian
 
Rights Authors who publish with this journal agree to the following terms:Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
Авторы, публикующие в данном журнале, соглашаются со следующим:Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным сохранением ссылок на авторов оригинальной работы и оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договорённости, касающиеся не-эксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге), со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы имеют право размещать их работу в сети Интернет (например в институтском хранилище или персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу (См. The Effect of Open Access).