Record Details

ON THE ORDER OF ZERO APPROXIMATION BY IRREDUCIBLE DIVISORS OF INTEGER POLYNOMIALS

Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus

View Archive Info
 
 
Field Value
 
Title ON THE ORDER OF ZERO APPROXIMATION BY IRREDUCIBLE DIVISORS OF INTEGER POLYNOMIALS
О МАЛОСТИ НЕПРИВОДИМЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПОЛИНОМОВ
 
Creator A. Kudin S.; Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus
А. Кудин С.; Институт математики Национальной академии наук Беларуси
 
Subject Diophantine approximation; Hausdorff dimension; transcendental numbers; resultant; irreducible divisor; Gelfond’s lemma
диофантовы приближения; размерность Хаусдорфа; трансцендентные числа; результант; неприводимый делитель; лемма Гельфонда
 
Description In the article we present an improvement to the lemma on the order of zero approximation by irreducible divisors of integer polynomials from A. O. Gelfond’s monograph “Transcendental and algebraic numbers”. The lemma says that if a polynomial P(x)∈Z[x] of degree not exceeding n and of height not exceeding Q satisfies inequality P(x) < Q−w, w > 6n, for some transcendental point x∈Z, then there exists a divisor d(x)∈Z[x] of P(x) that can be written as a degree of some polynomial irreducible over the field of rational numbers satisfying d(x) < Q−w+6n. Gelfond’s lemma and similar results have important applications to many problems of the metric theory of Diophantine approximation. One of such applications is the result of V. Bernik (1983) on the upper bound for the Hausdorff dimension of the set of real numbers with specified order of zero approximation by the values of integer polynomials. This result along with the result of A. Baker and W. Schmidt (1970) on the lower bound of the Hausdorff dimension of the set mentioned above gives the exact formula. In order to prove the upper bound V. Bernik improved and extended Gelfond’s lemma by using a weaker condition w > 3n and obtaining a better estimate d(x) < Q−w+n, as well as by considering the values of polynomials on an interval. However, the condition on w is still restrictive and limits the range of problems this result could be applied to. In our work, we improve the existing results by obtaining the estimate d(x) < Q−w+n−1 on some interval for any w. The result is obtained using the methods of the theory of transcendental numbers.
Работа посвящена усилению и обобщению известной леммы из монографии А. О. Гельфонда «Трансцендентные и алгебраические числа» об оценке порядка приближения нуля неприводимым делителем целочисленного полинома.В лемме Гельфонда утверждается, что если полином P(x)∈Z[x] степени не более n и высоты не более Q имеет в некоторой трансцендентной точке x∈Z значение P(x) < Q−w, то при w > 6n найдется делитель P(x), полином d(x)∈Z[x], являющийся степенью неприводимого над полем рациональных чисел целочисленного полинома, для которого справедливо d(x) < Q−w+6n. Лемма Гельфонда и ее аналоги имеют важные приложения во многих проблемах метрической теории диофантовых приближений. Одно из них – р езультат В . И . Б ерника 1 983 г . об оценке сверхуразмерности Хаусдорфа множества действительных чисел с заданной мерой трансцендентности, который вместе с результатом А. Бейкера и В. Шмидта 1970 г. об оценке снизу размерности Хаусдорфа позволил найти ее точное значение.В. И. Берник усилил и обобщил лемму Гельфонда, используя более слабое условие w > 3n и получая б олее сильную оценку d(x) < Q−w+n , а также рассматривая значения полиномов на заданном интервале. Однако область применения данного результата была ограничена из-за достаточно сильных условий на w. В данной работе получена оценка d(x) < Q−w+n−1 на некотором интервале при отсутствии ограничений на w, что усиливает и обобщает лемму Гельфонда и существующие аналогичные результаты. В работе используются методы теории трансцендентных чисел.
 
Publisher The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"
 
Contributor —
—
 
Date 2017-08-09
 
Type info:eu-repo/semantics/article
info:eu-repo/semantics/publishedVersion
—
—
 
Format application/pdf
 
Identifier http://doklady.belnauka.by/jour/article/view/416
 
Source Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus; Том 61, № 3 (2017); 14-17
Доклады Национальной академии наук Беларуси; Том 61, № 3 (2017); 14-17
1561-8323
 
Language rus
 
Relation http://doklady.belnauka.by/jour/article/view/416/417
Mahler, K. Über das Maß der Menge aller S-Zahlen / K. Mahler // Mathematische Annalen. – 1932. – Vol. 106, N 1. – S. 131–139. doi.org/10.1007/bf01455882
Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 184 с.
Baker, A. Diophantine approximation and Hausdorff dimension / A. Baker, W. M. Schmidt // Proceedings of the London Mathematical Society. – 1970. – Vol. s3-21, N 1. – P. 1–11. doi.org/10.1112/plms/s3-21.1.1
Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arithmetica. – 1983. – Т. 42, № 3. – С. 219–253.
Гельфонд, А. О. Трансцендентные и алгебраические числа / А. О. Гельфонд. – М.: ГИТТЛ, 1952. – 224 c.
Бударина, Н. В. Значения неприводимых делителей целочисленных полиномов / Н. В. Бударина, В. И. Берник, Х. О’Доннелл // Весн. Магiлёўскага дзярж. ун-та iмя А. А. Куляшова. Сер. B: Прыродазнаўчыя навукi (матэматыка, фiзiка, бiялогiя). – 2015. – № 2 (46). – С. 17–22.
 
Rights Authors who publish with this journal agree to the following terms:Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
Авторы, публикующие в данном журнале, соглашаются со следующим:Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным сохранением ссылок на авторов оригинальной работы и оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договорённости, касающиеся не-эксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге), со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы имеют право размещать их работу в сети Интернет (например в институтском хранилище или персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу (См. The Effect of Open Access).